Mathematik - Materialien von Katja Isa und Ursula Jacob
Ursula Jacob / Katja Isa
Grundlagen des Mathematik-Anfangsunterrichts
1. Grundleistungen
Die Bildung von Zahlbegriffen im Zahlenraum von 0 bis 9 muss im Mathematik-Anfangsunterricht einen breiten Raum einnehmen. Für ein wirkliches Zahlenverständnis, nämlich die Zahl als Kardinalzahl (= Anzahl der Elemente einer Menge) und Ordinalzahl (= Stellung des Elementes in einer durchnummerierten Menge) zu begreifen, müssen sich beim Kind zwei kognitive Fähigkeiten gebildet haben:
2. Kognitive Fähigkeiten für die Erfassung von Zahlbegriffen
Das Fundament für die kognitive Erfassung von Zahlbegriffen bilden grundlegende Fähigkeiten aus dem Bereich des "pränumerischen" Rechnens (= das Hantieren mit Mengen noch vor bzw. neben der Verwendung von Zahlen). Für das Rechnen mit Zahlen sollte ein Kind das folgende Wissen erworben haben:
3. Die Bedeutung der Wahrnehmung für die Zahlbegriffsbildung
Zur Zahlbegriffsbildung werden bestimmte Fähigkeiten der Informationsaufnahme und -verarbeitung vorausgesetzt. Störungen der sensorischen Wahrnehmung, der Motorik und in den integrativen Prozessen (= verschiedene Wahrnehmungsleistungen werden miteinander verknüpft) beeinflussen die Entwicklung des mathematischen Denkens - natürlich nicht nur dieses - erheblich.
* Zur Bedeutung der SENSORIK (WAHRNEHMUNG) (vestibulär / taktil / kinästhetisch / visuell / auditiv): Das funktionierende Gleichgewicht (vestibulärer Sinn) bildet ganz allgemeinen die Basis für das harmonisierende Funktionieren der anderen Sinne. Ein Kind, das besondere Konzentration dafür "verbraucht", sich im Gleichgewicht zu halten, hat mangelnde Kräfte für andere Wahrnehmungsleistungen "übrig". Über die taktil-kinästhetische Wahrnehmung entwickelt sich das Wissen um Formen, Größen, Gewichte, Entfernungen, Raumlage. Erschwernisse in diesem Wahrnehmungsbereich ziehen einen Mangel an „greifender“ Erfahrung nach sich (oder ursächlich auch umgekehrt!). Störungen in der taktilen und der kinästhetischen Wahrnehmung beeinflussen auch die Feinmotorik: Stifte werden verkrampft gehalten, Muggelsteine können nicht gegriffen werden, das Ausschneiden von Formen gelingt nicht. Das Wissen um den eigenen Körper - das Körperschema - (das Fühlen des eigenen Körpers und der eigenen Bewegungen) sind die Voraussetzung für die Orientierung im Raum. Durch das Körperschema ist es dem Kind möglich, die Raumlage von Gegenständen zu erfassen und räumliche Beziehungen herzustellen. Die visuelle Wahrnehmungsfähigkeit ist Grundlage für viele integrative Prozesse (Auge-Hand-Koordination, Raum-Lage-Beziehung, visuelle Figur-Hintergrund-Unterscheidung, Formkonstanz), die in einem bedeutungstragenden Zusammenhang mit mathematischen Leistungen stehen. Störungen der visuellen Wahrnehmung wirken sich darum besonders hemmend auf die Entwicklung mathematischer Leistungen aus. Über die auditive Wahrnehmung lernt das Kind, Erscheinungen seiner Umwelt in sprachliche Begriffe zu fassen. Es erwirbt dabei die Bedeutung der Lautsymbole für den Mengen- und Zahlbegriff. Störungen der auditiven Wahrnehmung können in verschiedenen Teilleistungen wirksam werden. So kann das Rechnen "im Kopf" bei phonematischer Differenzierungsschwäche aufgrund ähnlich klingender Zahlnamen ( ei ns, zw ei , dr ei , dreizehn, dreißig ...) erschwert werden. Bei gestörter auditiver Figur-Hintergrund-Wahrnehmung werden Anweisungen und Erklärungen bei einem normalen Geräuschpegel nicht verstanden. Schwächen in der auditiven Merkfähigkeit erschweren das Verstehen von Anweisungen, das „Behalten“ von mündlich gestellten Rechenaufgaben.
* Zur Bedeutung der MOTORIK: Kann ein Kind in der frühkindlichen Entwicklung keine ausreichenden motorischen Erfahrungen machen (egal, ob sie ihm zu wenig ermöglicht werden oder ob sie aufgrund vorhandener Schwächen vom Kind selbst vermieden werden), übt es sich zu wenig im Entdecken räumlicher Beziehungen zu seinem Körper. Räume werden dann schlicht zu wenig begangen , begriffen , erfahren . „Oben“, „unten“, „hinter“, „weit weg“, „kurz“, „lang“ usw. müssen durch das Erleben der Bewegung im Raum erkundet und erfasst werden. Aber eben diese Erfahrungen bilden das Fundament für mathematische Vorstellungen. Denn Mathematik ist ein Denken in „Räumen“: „Zahlenraum“ / „überschreiten“ / „davor“ / „danach“ / „unter“ / „über“ / „Reihung“ Dies sind räumliche Begriffe, mit denen nur dann sachgerecht -mathematisch- umgegangen werden kann, wenn ihnen konkret handelnde Erfahrungen vorausgegangen sind. Durch Störungen in der Verknüpfung von taktilen und visuellen Reizen bildet sich die Auge-Hand-Koordination verspätet und ungenau aus. Das Kind kann allen feinmotorischen Anforderungen des Unterrichts, wie schneiden, kleben, malen und schreiben nicht gerecht werden. Auch der Motorik der Augenmuskeln ist eine große Bedeutung zuzuschreiben. Sie ist als Grundlage für folgende Fähigkeiten zu sehen:
4. Schlussfolgerungen für den Mathematik-Anfangsunterricht
Der Mathematik-Anfangsunterricht sollte gründlich die Zahl-Begriffsbildung absichern (sie wird in den Mathematik-Büchern als vorhanden vorausgesetzt bzw. zu kurz abgehandelt bzw. kann auch gar nicht durch Bücher erschöpfend geleistet werden). Es sollten viele Übungen zur Schulung der Wahrnehmung und der Motorik einbezogen werden. Den Kindern muss ausgiebig Gelegenheit zum Hantieren mit Materialien gegeben werden. Dabei sollte eine schrittweise Abstraktion vom konkret anschaulichen zum symbolisch dargestellten Rechnen erfolgen. Die Sicherung des Fundaments sollte unbedingt nur im Zahlenraum von 0 bis 9 erfolgen. Dem dekadischen Aufbau unseres Positionssystem entsprechend gehört die Zahl 10 bereits zur 1. Bündelung und hat damit im Vergleich zu den Grundzahlen ein neues Niveau.
Hinweis 1
In jeder Klasse gibt es Kinder, die mit brillantem „Zählen-Können“, perfektem Ziffern-Schreiben und gelernten Rechenaufgaben überraschen. Man sollte sich vergewissern, wie „rechenstark“ diese Schüler wirklich sind (Zählen-Können bedeutet z.B. noch längst nicht das Vorhandensein eines sicheren Mengenbegriffs! Es kann dem Aufsagen eines Gedichts entsprechen - ohne Verständnis dafür, dass z.B. 6 mehr ist als 4, um wie viel kleiner die Menge 4 im Vergleich zur Menge 6 ist oder welche Zahl zwischen 4 und 6 liegt) und überprüfen, ob oben genannte Grundleistungen (siehe Punkt 1) im Zahlenraum bis 9 abgesichert sind.
Hinweis 2
Unsere Ausführungen zielen auf die Systematik des Aufbaus mathematischer Grundlagen. Diese Systematik sollten wir für den Unterricht und die Beobachtung der Lernschritte der Kinder immer im Hinterkopf haben. Aber Lernen erfolgt nicht nur systematisch, Schritt für Schritt. Lern- und Entwicklungsschritte machen individuell Umwege und Sprünge. Lernen „besteht im fortlaufenden Knüpfen und Umstrukturieren eines flexiblen Netzes aus Wissenselementen und Fertigkeiten, wobei es die Lernenden selbst sind, die unterstützt durch geeignete Lernumgebungen , ihre Wissensnetze von verschiedenen Stellen aus aktiv-entdeckend weiterknüpfen ... Lücken an einer Stelle sind keineswegs ein Hindernis für den Ausbau des Netzes an einer anderen Stelle. Sie ...“ können „ im Laufe des Lernprozesses geschlossen“ werden , „indem über die Lücken hinweg ‘Wissensfäden’ gespannt und an den schon festeren Teilen des Netzes verankert werden.“ [1] (Hervorhebungen von den Verfasserinnen) Diese Sichtweise sollte uns bestärken, Gelassenheit und Ruhe zu bewahren, und ein scheinbares Stagnieren beobachtend abwarten zu können, ein Ausprobieren eigener Rechenwege zuzulassen und anzuregen. Jedoch darf dieses „produktive Abwarten“ nicht dazu führen, folgenschwere Brüche im Fundament zu ignorieren und Kinder in die Irre laufen zu lassen. Die Analyse und Interpretation von Rechenfehlern gehört zu einer qualifizierten Begleitung der Lernentwicklung im Mathematikunterricht. Zur oben zitierten „geeigneten Lernumgebung“ gehört deshalb unverzichtbar das Bereitstellen und Vermitteln von grundlegenden motivierenden Übungsmaterialien, mit denen die Kinder ihre basalen Fähigkeiten spielerisch festigen und stabilisieren können.
Literatur:
1. Das Zahlenbuch, Mathematik im 1. Schuljahr, Lehrerband (Klett-Verlag)
2. Kutzer: Mathematik entdecken und verstehen, Lehrerband 1 und 2 (Diesterweg)
3. Milz: Rechenschwäche erkennen und behandeln (Verlag modernes lernen)
[1] Das Zahlenbuch, Mathematik im 1. Schuljahr, Lehrerband (Klett-Verlag) S. 3,
Grundlagen des Mathematik-Anfangsunterrichts
1. Grundleistungen
Die Bildung von Zahlbegriffen im Zahlenraum von 0 bis 9 muss im Mathematik-Anfangsunterricht einen breiten Raum einnehmen. Für ein wirkliches Zahlenverständnis, nämlich die Zahl als Kardinalzahl (= Anzahl der Elemente einer Menge) und Ordinalzahl (= Stellung des Elementes in einer durchnummerierten Menge) zu begreifen, müssen sich beim Kind zwei kognitive Fähigkeiten gebildet haben:
- Die Fähigkeit zur Gruppenbildung - Die Klassifikation
- Die Fähigkeit zur Reihenbildung - Die Seriation -
- Das Merken der Zahlnamen
- Die Graphomotorik der Zahl
- Die Zuordnung der Menge zur Zahl und der Zahl zur Menge
- Die Stellung der Zahl in der Zahlenreihe
- Der Vergleich der Mächtigkeit der Menge mit anderen Mengen
- Das Vergrößern und Verkleinern von Mengen
2. Kognitive Fähigkeiten für die Erfassung von Zahlbegriffen
Das Fundament für die kognitive Erfassung von Zahlbegriffen bilden grundlegende Fähigkeiten aus dem Bereich des "pränumerischen" Rechnens (= das Hantieren mit Mengen noch vor bzw. neben der Verwendung von Zahlen). Für das Rechnen mit Zahlen sollte ein Kind das folgende Wissen erworben haben:
- Merkmale von Gegenständen erkennen ("klein", "groß", "dreieckig"...)
- Bildung von Gruppen ("alle viereckigen Bausteine", "alle kleinen Männchen ", ...)
- Erkennen der Invarianz („5“ bleibt „5“, egal ob die Elemente dicht zusammen liegen oder weit auseinander)
- Erkennen der Repräsentanz („ 5 bleibt 5“ egal, ob 5 Elefanten oder 5 Ameisen oder 5 ganz verschiedene Dinge)
- Bildung von Reihen (Seriation) ("Zuerst das kleine, dann das etwas größere, zum Schluss das ganz große ...")
- Vergleichen von Mengen (Klassifikation) ("mehr", "weniger", "kleiner", "größer", „gleich viel“)
- Zerlegen, Ergänzen, Vergrößern und Verkleinern von Mengen (Operationen)
3. Die Bedeutung der Wahrnehmung für die Zahlbegriffsbildung
Zur Zahlbegriffsbildung werden bestimmte Fähigkeiten der Informationsaufnahme und -verarbeitung vorausgesetzt. Störungen der sensorischen Wahrnehmung, der Motorik und in den integrativen Prozessen (= verschiedene Wahrnehmungsleistungen werden miteinander verknüpft) beeinflussen die Entwicklung des mathematischen Denkens - natürlich nicht nur dieses - erheblich.
* Zur Bedeutung der SENSORIK (WAHRNEHMUNG) (vestibulär / taktil / kinästhetisch / visuell / auditiv): Das funktionierende Gleichgewicht (vestibulärer Sinn) bildet ganz allgemeinen die Basis für das harmonisierende Funktionieren der anderen Sinne. Ein Kind, das besondere Konzentration dafür "verbraucht", sich im Gleichgewicht zu halten, hat mangelnde Kräfte für andere Wahrnehmungsleistungen "übrig". Über die taktil-kinästhetische Wahrnehmung entwickelt sich das Wissen um Formen, Größen, Gewichte, Entfernungen, Raumlage. Erschwernisse in diesem Wahrnehmungsbereich ziehen einen Mangel an „greifender“ Erfahrung nach sich (oder ursächlich auch umgekehrt!). Störungen in der taktilen und der kinästhetischen Wahrnehmung beeinflussen auch die Feinmotorik: Stifte werden verkrampft gehalten, Muggelsteine können nicht gegriffen werden, das Ausschneiden von Formen gelingt nicht. Das Wissen um den eigenen Körper - das Körperschema - (das Fühlen des eigenen Körpers und der eigenen Bewegungen) sind die Voraussetzung für die Orientierung im Raum. Durch das Körperschema ist es dem Kind möglich, die Raumlage von Gegenständen zu erfassen und räumliche Beziehungen herzustellen. Die visuelle Wahrnehmungsfähigkeit ist Grundlage für viele integrative Prozesse (Auge-Hand-Koordination, Raum-Lage-Beziehung, visuelle Figur-Hintergrund-Unterscheidung, Formkonstanz), die in einem bedeutungstragenden Zusammenhang mit mathematischen Leistungen stehen. Störungen der visuellen Wahrnehmung wirken sich darum besonders hemmend auf die Entwicklung mathematischer Leistungen aus. Über die auditive Wahrnehmung lernt das Kind, Erscheinungen seiner Umwelt in sprachliche Begriffe zu fassen. Es erwirbt dabei die Bedeutung der Lautsymbole für den Mengen- und Zahlbegriff. Störungen der auditiven Wahrnehmung können in verschiedenen Teilleistungen wirksam werden. So kann das Rechnen "im Kopf" bei phonematischer Differenzierungsschwäche aufgrund ähnlich klingender Zahlnamen ( ei ns, zw ei , dr ei , dreizehn, dreißig ...) erschwert werden. Bei gestörter auditiver Figur-Hintergrund-Wahrnehmung werden Anweisungen und Erklärungen bei einem normalen Geräuschpegel nicht verstanden. Schwächen in der auditiven Merkfähigkeit erschweren das Verstehen von Anweisungen, das „Behalten“ von mündlich gestellten Rechenaufgaben.
* Zur Bedeutung der MOTORIK: Kann ein Kind in der frühkindlichen Entwicklung keine ausreichenden motorischen Erfahrungen machen (egal, ob sie ihm zu wenig ermöglicht werden oder ob sie aufgrund vorhandener Schwächen vom Kind selbst vermieden werden), übt es sich zu wenig im Entdecken räumlicher Beziehungen zu seinem Körper. Räume werden dann schlicht zu wenig begangen , begriffen , erfahren . „Oben“, „unten“, „hinter“, „weit weg“, „kurz“, „lang“ usw. müssen durch das Erleben der Bewegung im Raum erkundet und erfasst werden. Aber eben diese Erfahrungen bilden das Fundament für mathematische Vorstellungen. Denn Mathematik ist ein Denken in „Räumen“: „Zahlenraum“ / „überschreiten“ / „davor“ / „danach“ / „unter“ / „über“ / „Reihung“ Dies sind räumliche Begriffe, mit denen nur dann sachgerecht -mathematisch- umgegangen werden kann, wenn ihnen konkret handelnde Erfahrungen vorausgegangen sind. Durch Störungen in der Verknüpfung von taktilen und visuellen Reizen bildet sich die Auge-Hand-Koordination verspätet und ungenau aus. Das Kind kann allen feinmotorischen Anforderungen des Unterrichts, wie schneiden, kleben, malen und schreiben nicht gerecht werden. Auch der Motorik der Augenmuskeln ist eine große Bedeutung zuzuschreiben. Sie ist als Grundlage für folgende Fähigkeiten zu sehen:
- Fixieren eines ruhenden Gegenstandes mit den Augen
- schneller Blickwechsel von einem Gegenstand zum anderen durch Augensprünge
- kontinuierliches Verfolgen eines sich bewegenden Gegenstandes
- Abtasten einer Reihe ruhender Gegenstände.
4. Schlussfolgerungen für den Mathematik-Anfangsunterricht
Der Mathematik-Anfangsunterricht sollte gründlich die Zahl-Begriffsbildung absichern (sie wird in den Mathematik-Büchern als vorhanden vorausgesetzt bzw. zu kurz abgehandelt bzw. kann auch gar nicht durch Bücher erschöpfend geleistet werden). Es sollten viele Übungen zur Schulung der Wahrnehmung und der Motorik einbezogen werden. Den Kindern muss ausgiebig Gelegenheit zum Hantieren mit Materialien gegeben werden. Dabei sollte eine schrittweise Abstraktion vom konkret anschaulichen zum symbolisch dargestellten Rechnen erfolgen. Die Sicherung des Fundaments sollte unbedingt nur im Zahlenraum von 0 bis 9 erfolgen. Dem dekadischen Aufbau unseres Positionssystem entsprechend gehört die Zahl 10 bereits zur 1. Bündelung und hat damit im Vergleich zu den Grundzahlen ein neues Niveau.
Hinweis 1
In jeder Klasse gibt es Kinder, die mit brillantem „Zählen-Können“, perfektem Ziffern-Schreiben und gelernten Rechenaufgaben überraschen. Man sollte sich vergewissern, wie „rechenstark“ diese Schüler wirklich sind (Zählen-Können bedeutet z.B. noch längst nicht das Vorhandensein eines sicheren Mengenbegriffs! Es kann dem Aufsagen eines Gedichts entsprechen - ohne Verständnis dafür, dass z.B. 6 mehr ist als 4, um wie viel kleiner die Menge 4 im Vergleich zur Menge 6 ist oder welche Zahl zwischen 4 und 6 liegt) und überprüfen, ob oben genannte Grundleistungen (siehe Punkt 1) im Zahlenraum bis 9 abgesichert sind.
Hinweis 2
Unsere Ausführungen zielen auf die Systematik des Aufbaus mathematischer Grundlagen. Diese Systematik sollten wir für den Unterricht und die Beobachtung der Lernschritte der Kinder immer im Hinterkopf haben. Aber Lernen erfolgt nicht nur systematisch, Schritt für Schritt. Lern- und Entwicklungsschritte machen individuell Umwege und Sprünge. Lernen „besteht im fortlaufenden Knüpfen und Umstrukturieren eines flexiblen Netzes aus Wissenselementen und Fertigkeiten, wobei es die Lernenden selbst sind, die unterstützt durch geeignete Lernumgebungen , ihre Wissensnetze von verschiedenen Stellen aus aktiv-entdeckend weiterknüpfen ... Lücken an einer Stelle sind keineswegs ein Hindernis für den Ausbau des Netzes an einer anderen Stelle. Sie ...“ können „ im Laufe des Lernprozesses geschlossen“ werden , „indem über die Lücken hinweg ‘Wissensfäden’ gespannt und an den schon festeren Teilen des Netzes verankert werden.“ [1] (Hervorhebungen von den Verfasserinnen) Diese Sichtweise sollte uns bestärken, Gelassenheit und Ruhe zu bewahren, und ein scheinbares Stagnieren beobachtend abwarten zu können, ein Ausprobieren eigener Rechenwege zuzulassen und anzuregen. Jedoch darf dieses „produktive Abwarten“ nicht dazu führen, folgenschwere Brüche im Fundament zu ignorieren und Kinder in die Irre laufen zu lassen. Die Analyse und Interpretation von Rechenfehlern gehört zu einer qualifizierten Begleitung der Lernentwicklung im Mathematikunterricht. Zur oben zitierten „geeigneten Lernumgebung“ gehört deshalb unverzichtbar das Bereitstellen und Vermitteln von grundlegenden motivierenden Übungsmaterialien, mit denen die Kinder ihre basalen Fähigkeiten spielerisch festigen und stabilisieren können.
Literatur:
1. Das Zahlenbuch, Mathematik im 1. Schuljahr, Lehrerband (Klett-Verlag)
2. Kutzer: Mathematik entdecken und verstehen, Lehrerband 1 und 2 (Diesterweg)
3. Milz: Rechenschwäche erkennen und behandeln (Verlag modernes lernen)
[1] Das Zahlenbuch, Mathematik im 1. Schuljahr, Lehrerband (Klett-Verlag) S. 3,
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